Небольшое знакомство

Кватернион — это гиперкомплексное число, которое способно определять вращение объекта в пространстве.

Мнимая часть $(x,y,z)$ представляет вектор, который определяет направление вращения. Вещественная часть $(w)$ определяет угол, на который будет совершено вращение. Его основное отличие от всем привычных углов Эйлера в том, что нам достаточно иметь один вектор, который будет определять направление вращения, вместо трех линейно независимых осей, которые вращают объект в 3 подпространствах.

Рекомендую две статьи, в которых подробно рассказывается о кватернионах: Раз и Два

Теперь, когда у нас есть минимальные представления о кватернионах, давайте поймем, как вращать вектор.

Формула вращения вектора

, где

• $\vec{v}'$ — искомый вектор
• $\vec{v}$ — исходный вектор
• $q$ — кватернион
• $\bar{q}$ — обратный (а точнее сопряженный) кватернион

Для начала, дадим понятие сопряженного единичного кватерниона — это кватернион с противоположной по знаку мнимой частью.

$q = w + xi + yj + zk$

$\bar{q} = w - xi - yj - zk$

Вычисление $\vec{v} * \bar{q}$

Посчитаем $\vec{v} * \bar{q}$ и обозначим как $M$:

Теперь выпишем отдельные компоненты и из этого произведения соберем новый кватернион:

Вычисление $q * M$

Посчитаем оставшуюся часть, т.е. $q * M$ и получим искомый вектор.

Примечание: Чтобы не загромождать вычисления, приведём только мнимую (векторную) часть этого произведения — именно она характеризует искомый вектор.

Компоненты результирующего вектора

Реализация:

struct Vector3
{
    float x, y, z;
};

struct Quaternion
{
    float x, y, z, w;
};

// Создание кватерниона из оси и угла
Quaternion CreateQuaternion(Vector3 axis, float angle)
{
    float half = angle / 2.0f;
    float s    = sinf(half);
    return { axis.x * s, axis.y * s, axis.z * s, cosf(half) };
}

// Вращение вектора на кватернион
Vector3 QuaternionRotation(Vector3 v, Quaternion q)
{
        float u0 = v.x * q.x + v.y * q.y + v.z * q.z;
        float u1 = v.x * q.w - v.y * q.z + v.z * q.y;
        float u2 = v.x * q.z + v.y * q.w - v.z * q.x;
        float u3 = -v.x * q.y + v.y * q.x + v.z * q.w;
        Quaternion M = { u1, u2, u3, u0 };
        
        Vector3 resultVector;
        resultVector.x = q.w * M.x + q.x * M.w + q.y * M.z - q.z * M.y;  
        resultVector.y = q.w * M.y - q.x * M.z + q.y * M.w + q.z * M.x;
        resultVector.z = q.w * M.z + q.x * M.y - q.y * M.x + q.z * M.w;
        
        return resultVector;
}